《微分几何》课程教学大纲

学时：72

学分：4

教学目的和任务：

微分几何是综合性大学数学系各专业的重要基础课，也是应用性很强的一门数学课。微分几何课的目的一方面使学生学好作为数学基础的微分几何课，以便为以后进一步学习、研究现代几何学打好基础；另一方面培养学生理论联系实际和分析问题解决问题的能力。

先修课程：

微积分、线性代数、空间解析几何，微分方程。

基本要求：

1． 熟练掌握向量的基本运算：加、减、数积和向量积及其性质。熟练掌握向量函数的微积分运算，具有特殊条件的向量函数的性质。掌握曲线的基本概念，理解曲线的基本概念、切线和法面的求法，曲线的弧长，自然参数的引进。掌握曲线的密切面、基本三棱形，曲率、挠率等概念并会其求法、理解、会用Frenet公式、曲线的局部结构和基本定理。掌握平面曲线论的基本概念与理论及其与空间曲线的区别；一般螺线和Bertrand曲线的基本特征。

2． 熟练掌握简单曲面及其上面曲线族（网）的特征，会求曲面的法线、切面等。掌握曲面第一基本形式及相关量的计算，并理解其几何意义。掌握曲面的第二基本形式，曲面上曲线的曲率、曲面的渐进（线）方向、共扼方向、主方向和曲率线，主曲率、Gauss曲率和平均曲率，曲面的局部结构等基本概念，会相关运算。掌握直纹面和可展曲面的定义与基本特征。掌握、理解曲面论基本定理的内容及相关概念与符号。掌握、理解测地曲率和测地线、半测地坐标网的定义及其几何意义，理解Gauss-Bonnet公式及曲面上向量的平行移动，极小曲面的特征等。掌握常Gauss曲率曲面的求法，理解罗氏几何学的特点与思想。

教学内容：

本课程主要讲授三维空间中经典的曲线和曲面的局部理论。主要内容有：

1． 曲线论：

内容包括：向量函数及其微积分，曲线的切线、法平面，曲线的密切面、基本三棱形，曲率、挠率和Frenet公式、曲线的局部结构及曲线论的基本定理、几类特殊曲线等。

2． 曲面论：

内容包括：曲面的基本概念、切平面、法线曲线族和曲线网，曲面的第一基本形式和第一类基本量等概念，第二基本形式、渐进线、共扼线、主方向和曲率线、曲面的主曲率、Gauss曲率和平均曲率，曲面的局部结构，直纹面和可展曲面，曲面论的基本定理，测地线，常Gauss曲率的曲面等。

学时分配：

教 学 内 容	学 时 分 配
1．曲线论：	26
2．曲面论：	46
总 计	72

1．曲线论：26

2．曲面论：46

教学参考书：

（1） 吴大任，《微分几何讲义》。

（2） 陈维桓等，《微分几何讲义》。

教研室主任：

分院（系）领导：